4.3. 動作ティーチング

4.3.1. ダイレクトティーチング

一般に，ロボットマニピュレータのダイナミクスは，

\[M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + h(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{q}) + \mathbf{g}(\mathbf{q}) + \boldsymbol{\tau}_f = \boldsymbol{\tau}_{in}+\boldsymbol{\tau}_{ext}\]

である．ここで， \(\boldsymbol{\tau}_{f}, \boldsymbol{\tau}_{in}, \boldsymbol{\tau}_{ext} \in \mathbb{R}^n\) はそれぞれ摩擦に対応するトルクベクトル，入力トルクベクトル，外力に対応するトルクベクトルである．なお，粘性減衰係数 \(D\) ，クーロン摩擦項 \(\boldsymbol{\mu} \text{sgn}(\dot{\mathbf{q}})\) を用いて，摩擦トルクベクトルは，

\[\boldsymbol{\tau}_f \equiv D\dot{\mathbf{q}} + \boldsymbol{\mu} \text{sgn}(\dot{\mathbf{q}})\]

である．サーボコントローサは，位置制御ループ，速度制御ループ，電流制御ループで構成されることが多く，速度・電流ループではPI制御が用いられている．よって， \(\boldsymbol{\tau}_{in}\) は，

\[\boldsymbol{\tau}_{in} = K_\tau(K_V(K_P(\mathbf{q}_d-\mathbf{q})-\dot{\mathbf{q}})) + \mathbf{g}(\mathbf{q}) + \tau_f - \tau_{ext} .\]

ここで， \(\mathbf{q}_d\) は目標間接角度， \(K_P, K_V, K_\tau\) はそれぞれ位置制御ゲイン，速度制御ゲイン，電流制御ゲインである．以上より，ロボットマニピュレータのダイナミクスは，

\[M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + h(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{q}) = \mathbf{g}(\mathbf{q})) + K_\tau(K_V(K_P(\mathbf{q}_d-\mathbf{q})-\dot{\mathbf{q}}))\]

となる．Lyapunovの安定性理論と受動性に基づき評価すれば，時間を \(t\) として， \(t\to\infty\) で \(\mathbf{q}\to\mathbf{q}_d\) となることを証明できる．