4.2.1. 接触の運動学モデル
物体座標系 \(C-\xi\eta\zeta\) ，空間座標系 \(O-xyz\) を設定する．空間座標系で表した点 \(C\) の位置ベクトルを \(\mathbf{x}_o\) ，指 \(i\) の接触点 \(P_i\) の位置ベクトルを \(\mathbf{x}_i\) とした場合，
\[\dot{\mathbf{x}_i} = \dot{\mathbf{x}}_o + \mathbf{\omega}\times(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_0)\]
となる，ここで， \(\mathbf{\omega}\) は物体の角速度ベクトルである．指が物体と干渉しないためには，
\[\mathbf{n}_i\cdot\dot{\mathbf{x}}_i \leq 0\]
でなくれはならない．ここで， \(\mathbf{n}_i\) は点 \(P_i\) における物体表面の外向き法線ベクトルである．この関係より，
\[\mathbf{n}_i^\top\cdot\dot{\mathbf{x}}_o + \mathbf{n}_i^\top\cdot(\mathbf{\omega}\times(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_o)) \leq 0\]
となり，スカラー三重積の公式を用いて，
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\mathbf{n}_i\\
(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_o)\times\mathbf{n}_i
\end{bmatrix}^\top
\begin{bmatrix}
\dot{\mathbf{x}}_o \\
\mathbf{\omega}
\end{bmatrix} \leq 0\end{split}\]
を得る．ここで，wrench および twist
\[\begin{split}\mathbf{w}_i \equiv \begin{bmatrix}
\mathbf{n}_i\\
(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_o)\times\mathbf{n}_i
\end{bmatrix}
,\quad
\dot{\mathbf{x}} \equiv \begin{bmatrix}
\dot{\mathbf{x}}_o \\
\mathbf{\omega}
\end{bmatrix}\end{split}\]
を導入し，
\[\mathbf{w}_i^\top\dot{\mathbf{x}} \leq 0\]
とも表される．これは，物体の運動に対する制約である．物体に \(n\) 本の指が接触しているとき，物体の速度と角速度は連立一次方程式
\[\forall i\in\{1,2,\ldots,n\}, \mathbf{w}_i^\top\dot{\mathbf{x}} \leq 0\]
を満たす必要がある．よって，物体がとることが可能な速度と角速度の集合は，
\[V = \{\dot{\mathbf{x}}\in\mathbb{R}^6 \mid \forall i\in\{1,2,\ldots,n\}, \mathbf{w}_i^\top\dot{\mathbf{x}} \leq 0\}\]
である．この集合 \(V\) を許容速度集合と呼ぶ．face形式で，
\[V = \text{face} \{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_n\}\]
と書くこともある．
4.2.2. 接触の静力学モデル
指 \(i\) が物体と点接触しているとき，垂直抗力は，
\[\mathbf{f}_i = R_i(-\mathbf{n}_i)\]
である．ここで， \(R_i\geq 0\) は垂直抗力の大きさ， \(n_i\) は法線ベクトルである．摩擦がないと仮定すると，
\[\begin{split}\begin{bmatrix}
\mathbf{f}_i\\
(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_o)\times\mathbf{f}_i
\end{bmatrix}
=-R_i\mathbf{w}_i\end{split}\]
を得る．外力と外モーメントをまとめて \(\mathbf{p}\) とすると，力とモーメントの釣り合いより，
\[\mathbf{p}+\sum_{i=1}^n(-R_i\mathbf{w}_i)=\mathbf{0}\]
となる．釣り合いが保たれる外力と外モーメントの集合は，
\[P=\left\{ \sum_{i=1}^n R_i\mathbf{w}_i\in\mathbb{R}^6 \mid \forall i\in\{1,2,\ldots,n\}, R_i \geq 0 \right\} .\]
この集合は \(P\) を許容力集合と呼ぶ．span形式で，
\[P=\text{span}\{\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\cdots,\mathbf{w}_n\}\]
と書くこともある．摩擦がある場合は，摩擦係数が一定であるとし，合力の集合は摩擦円錐で与えられる．指 \(i\) に対する摩擦円錐を \(m\) 個の稜線をもつ凸多面推で近似すると，稜線に沿うベクトル \(\mathbf{d}_{i,j}\) を用いて，
\[\mathbf{f}_i = \sum_{j=1}^m R_{i,j}(-\mathbf{d}_{i,j}),\quad R_{i,j}\geq 0\]
となる．ここで，
\[\begin{split}\mathbf{w}_{i,j} \equiv
\begin{bmatrix}
\mathbf{d}_{i,j}\\
(\mathbf{x}_i-\mathbf{o})\times \mathbf{d}_{i,j}
\end{bmatrix}\end{split}\]
とし，許容力集合
\[ \begin{align}\begin{aligned}P = \text{span} \{ \mathbf{w}_{1,1},\mathbf{w}_{1,2},\cdots,\mathbf{w}_{1,m},\\\cdots,\mathbf{w}_{n,1},\mathbf{w}_{n,2},\cdots,\mathbf{w}_{n,m} \}\end{aligned}\end{align} \]
を得る．face形式とspan形式は互い双対であり，凸多面錐 \(C\) の双対凸多面体錐を \(C^*\) で表す．摩擦がない場合は特に，
\[P=V^*, \quad V=P^*\]
が成り立つ．