1.2. 状態空間表現

1.2.1. 状態方程式

状態方程式は，現在の状態 \(\mathbf{x}(t)\in\mathbb{R}^{n}\) と制御入力 \(\mathbf{u}(t)\in\mathbb{R}={m}\) により，

\[\dot{\mathbf{x}}(t) = F(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))\]

と定義される．ここで， \(F\) とは，

\[F: \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\]

という，一般に非線形な写像である． \(\mathbf{x}(t)\) とは別にシステムの出力 \(\mathbf{y}(t)\in\mathbb{R}^p\) を定める場合は，出力方程式

\[\mathbf{y}(t) = h(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))\]

が付随する．一般に，制御入力，制御出力の数は状態より少なく， \(m\leq n, p\leq n\) である．

1.2.2. Affine Systems

応用上多くの場合は，写像 \(F(\mathbf{x},\mathbf{u})\) が制御入力について線形であり，

\[\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}) + G(\mathbf{x})u = f(\mathbf{x}) + \sum_{i=1}^m g_i(\mathbf{x})u_i\]

で表すことができる．

1.2.3. 自律系

状態方程式の右辺が，

\[\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})\]

のように，現在の状態 \(\mathbf{x}(t)\) のみで決まるシステムを自律系という．

1.2.4. 状態方程式の解

状態方程式の解とは，初期条件として \(\mathbf{x}_0\in\mathbb{R}^n\) ，制御入力として \(\mathbf{u}(t), t\in[0,\infty)]\) が与えられたとき，区間 \(T_I\subseteq \mathbb{R}, 0\in T_I\) 上で定義された関数 \(\mathbf{x}(t), t\in T_I\) で下式を満たすものである．

\[ \begin{align}\begin{aligned}\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))\\\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0\end{aligned}\end{align} \]

\(T_I\subset \mathbb{R}\) のときは局所解， \(T_I=\mathbb{R}\) ととれるときは大域解という．