3.4. 過渡現象

3.4.1. Laplace変換

時間波形 \(f(t)\) のLaplace変換 \(F(s)\) は，

\[F(s)=\mathcal{L}[f(t)]\equiv \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt\]

と定義される．この変換は，時間波形から複素周波数波形への変換である． \(s\) は複素周波数

\[s=\sigma+j\omega\]

で与えられる． \(\omega\) は角周波数， \(\sigma\) は減衰定数である．逆Laplace変換は，

\[f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{j2\pi}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}ds\]

の複素積分で与えられる．

上式が成り立つことを確認してみよう．

\[ \begin{align}\begin{aligned}\mathcal{L}^{-1}[\mathcal{L}[f(t)]] = \frac{1}{j2\pi}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}\left(\int_0^\infty f(\tau)e^{-s\tau}d\tau\right)e^{st}ds =\\= \int_0^\infty f(\tau)\left(\frac{1}{j2\pi}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}e^{s(t-\tau)}ds\right)d\tau = \int_0^\infty f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau = f(t)\end{aligned}\end{align} \]

3.4.2. RL直列回路

KVLより，

\[L\frac{di}{dt} + Ri = E\]

Laplace変換を適用すると，

\[(Ls + R)I(s) = \frac{E}{s}\]

となる．なお， \(i(0)=0\) とした． \(I(s)\) について解くと，

\[I(s) = \frac{E}{s(Ls + R)} = \frac{E}{R}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + \frac{R}{L}}\right)\]

を得る．逆Laplace変換を適用すると，

\[i(t) = \mathcal{L}^{-1}[I(s)] = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right) .\]