2.1. 分布定数回路¶
2.1.1. 基本方程式¶
分布定数回路の基本方程式は，
\[ \begin{align}\begin{aligned}-\frac{\partial v(x,t)}{\partial x} = L \frac{\partial i(x,t)}{\partial t} + R i(x,t)\\-\frac{\partial i(x,t)}{\partial x} = C \frac{\partial v(x,t)}{\partial t} + G v(x,t)\end{aligned}\end{align} \]
であり，電圧・電流分布を時間・空間の関数として表現する．信号を正弦波の場合に限ると，電圧および電流は，
\[ \begin{align}\begin{aligned}v(x,t) = \sqrt{2} \Re\{\dot{V}(x)e^{j\omega t}\}\\i(x,t) = \sqrt{2} \Re\{\dot{I}(x)e^{j\omega t}\}\end{aligned}\end{align} \]
として，
\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{d\dot{V}(x)}{dx} = -(R + j\omega L) \dot{I}(x) = -\dot{Z} \dot{I}(x)\\\frac{d\dot{I}(x)}{dx} = -(G + j\omega C) \dot{V}(x) = -\dot{Y} \dot{V}(x)\end{aligned}\end{align} \]
となる．さらに \(x\) で微分すると，
\[\frac{d^2 \dot{V}(x)}{dx^2} = \dot{\gamma}^2 \dot{V}(x) , \frac{d^2 \dot{I}(x)}{dx^2} = \dot{\gamma}^2 \dot{I}(x)\]
が得られ，これは電信方程式と呼ばれる．ここで， \(\dot{\gamma} \equiv \sqrt{\dot{Z}\dot{Y}}\) は伝搬定数である．
上式の一般解は，
\[ \begin{align}\begin{aligned}\dot{V}(x) = \dot{A} e^{-\dot{\gamma} x} + \dot{B} e^{\dot{\gamma} x}\\\dot{I}(x) = \frac{1}{\dot{Z}_0}\left(\dot{A} e^{-\dot{\gamma} x} - \dot{B} e^{\dot{\gamma} x}\right)\end{aligned}\end{align} \]
となる．ここで， \(\dot{Z}_0\equiv\sqrt{\dot{Z}/\dot{Y}}\) は特性インピーダンスであり， \(\dot{A}\) および \(\dot{B}\) は境界条件によって決まる定数である．
或いは， \(e^{\pm\dot{\gamma}x}=\cosh(\dot{\gamma}x) \pm \sinh(\dot{\gamma}x)\) を用いて，
\[ \begin{align}\begin{aligned}\dot{V}(x) = \dot{A}' \cosh(\dot{\gamma} x) + \dot{B}' \sinh(\dot{\gamma} x)\\\dot{I}(x) = \frac{1}{\dot{Z}_0}\left(\dot{A}' \sinh(\dot{\gamma} x) + \dot{B}' \cosh(\dot{\gamma} x)\right)\end{aligned}\end{align} \]
とも表せる．なお， \(\dot{A}'\equiv \dot{A} + \dot{B}\) ， \(\dot{B}'\equiv \dot{B} - \dot{A}\) である．
2.1.2. 線路定数¶
\(R,G,C,L\) は線路の一次定数， \(\dot{\gamma}=\alpha+j\beta,\dot{Z}_0\) などは線路の二次定数と呼ばれる．特に， \(\alpha\) は減衰定数， \(\beta\) は位相定数であり，
\[ \begin{align}\begin{aligned}\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{(R^2 + \omega^2 L^2)(G^2 + \omega^2 C^2)} + (RG - \omega^2 LC)\right)}\\\beta = \sqrt{\frac{1}{2}\left(\sqrt{(R^2 + \omega^2 L^2)(G^2 + \omega^2 C^2)} - (RG - \omega^2 LC)\right)}.\end{aligned}\end{align} \]
特性インピーダンスは，
\[ \begin{align}\begin{aligned}\dot{Z}_0 = \sqrt[4]{\frac{R^2 + \omega^2 L^2}{G^2 + \omega^2 C^2}}.\\\arg(\dot{Z}_0) = \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\omega L}{R}\right) - \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{\omega C}{G}\right).\end{aligned}\end{align} \]