1.1. 古典電磁気学

1.1.1. Maxwell方程式

\(c=\epsilon_0=\mu_0=1\) と単位を選ぶと，Maxwell方程式は以下のように表される．

\[ \begin{align}\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho\\\nabla\cdot\mathbf{B} = 0\\\nabla\times\mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0\\\nabla\times\mathbf{B} - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mathbf{J}\end{aligned}\end{align} \]

ここで， \(\mathbf{E}\) は電場， \(\mathbf{B}\) は磁場， \(\rho\) は電荷密度， \(\mathbf{J}\) は電流密度である．非斉次な方程式は，連続の方程式の局所的な電荷保存の事実と整合している．

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0\]

また，Lorentz共変な形で書くと，

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\]

ここで， \(J^\nu\) は，4元電流密度であり，

\[\begin{split}J^\nu \equiv \begin{bmatrix} \rho \\ \mathbf{J} \end{bmatrix}\end{split}\]

であるものと仮定する．スカラーポテンシャル \(\phi\) とベクトルポテンシャル \(\mathbf{A}\) を導入すると，斉次式は，

\[ \begin{align}\begin{aligned}\mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\end{aligned}\end{align} \]

により自動的に満たされる．ここで， \(A^\mu\) を4元ポテンシャルといい，

\[\begin{split}A^\mu \equiv \begin{bmatrix} \phi \\ \mathbf{A} \end{bmatrix}\end{split}\]

であることを仮定する．Maxwell方程式は，反対称テンソル \(F^{\mu\nu}\) を用いて書き直せる．

\[\begin{split}F^{\mu\nu} \equiv \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Maxwell方程式の2つの斉次式は，

\[\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0\]

残りの非斉次式は，共変な形で，

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\]

となる．

1.1.2. 電磁場のLagrangian密度

Hamiltonの原理を用いてMaxwell方程式が導かれるようなLagrangian密度 \(\mathcal{L}\) を求めてみよう． \(\mathcal{L}\) がLorentz不変であれば，

\[S = \int d^4x \mathcal{L}\]

も \(d^4x\) が不変なのでLorentz不変である．そして， \(\delta S=0\) の条件から任意の慣性系においても同じ式になる． \(\mathcal{L}\) は，Lorentz不変性およびゲージ不変性を満たし，4元ポテンシャルの一次導関数から構成される最も低次のスカラーとして最も簡単なものとして，

\[\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu\]

が見出される．作用は，

\[S = \int d^4x \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu\right) .\]

その変分をとると，

\[ \begin{align}\begin{aligned}\delta S = \int d^4x \left(-\frac{1}{2}F_{\mu\nu}\delta F^{\mu\nu} - J^\mu \delta A_\mu\right) =\\= \int d^4x \left[-\frac{1}{2}F_{\mu\nu}(\partial^\mu \delta A^\nu - \partial^\nu \delta A^\mu) - J^\mu \delta A_\mu\right] =\\= \int d^4x \left(-F_{\mu\nu}\partial^\mu \delta A^\nu - J^\mu \delta A_\mu\right)\end{aligned}\end{align} \]

第1項に対して部分積分をして，場に適当な条件を与え，境界項をゼロにすると，

\[\delta S = \int d^4x \left(\partial_\mu F^{\mu\nu} - J^\nu\right)\delta A_\nu\]

を得る．任意の \(\delta A_\nu\) に対して \(\delta S=0\) であるためには，

\[\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\]

でなければならない．この式はMaxwell方程式の非斉次式と同値である．

1.1.3. ゲージ変換

4元ポテンシャル \(A^\mu = (\phi, \mathbf{A})\) は一意ではない．ポテンシャルに対して以下の変換を施しても，同じ電磁場テンソル \(F^{\mu\nu}\) を得る．

\[\begin{split}A^\mu + \partial^\mu \chi = \begin{bmatrix} \phi + \frac{\partial \chi}{\partial t} \\ \mathbf{A} - \nabla\chi \end{bmatrix}\end{split}\]

ここで， \(\chi\) は任意のスカラー場である．この変換に伴う \(F^{\mu\nu}\) の変化は，

\[\partial^\mu (A^\nu + \partial^\nu \chi) - \partial^\nu (A^\mu + \partial^\mu \chi) = F^{\mu\nu} + \partial^\mu\partial^\nu \chi - \partial^\nu\partial^\mu \chi = F^{\mu\nu}\]

となり，恒等的にゼロになる．このような変換

\[A^\mu \to A'^\mu = A^\mu + \partial^\mu \chi\]

をゲージ変換という．ゲージ変換に伴って，作用に加わる余分の項 \(\Delta S\) は，

\[\Delta S = -\int d^4x J_\mu \partial^\mu \chi = \int d^4x (\partial^\mu J_\mu) \chi\]

である．なお，部分積分をして，境界項がゼロになることを仮定した．任意の \(\chi\) に対して \(\Delta S\) がゼロになるための唯一の条件は，

\[\partial^\mu J_\mu = \partial_\mu J^\mu = 0 .\]

すなわち，連続の方程式そのものである．作用がゲージ不変であるためには，電荷保存が要請され，電荷保存によって作用のゲージ不変性が保証される．

1.1.4. Maxwell方程式の解

場の方程式 \(\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu\) はポテンシャルを用いて，

\[\partial_\mu (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu) = J^\nu\]

となる．放射ゲージ \(\nabla\cdot\mathbf{A}=0\) のもとで， \(A^0\) に関する方程式は，

\[(\partial_i\partial^i) A^0 = -\nabla^2 A^0 = J^0\]

で与えられる．この方程式の解は，

\[A^0(t, \mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int d^3\mathbf{r}' \frac{\rho(t, \mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\]

である．ベクトル成分 \(A^i\) は，次の非斉次波動方程式を満たす．

\[\frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{A} = \mathbf{J} - \frac{\partial}{\partial t}\nabla A^0\]

自由空間では \(\mathbf{J}=0, \rho=0,A^0=0\) であり，波数ベクトル \(\mathbf{k}\) と振動数 \(\omega_\mathbf{k}=|\mathbf{k}|\) の平面波解は，

\[\mathbf{A}(t,\mathbf{r}) = a\epsilon \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega_\mathbf{k}t)\]

が基本解となり得る．ここで， \(a\) は波の振幅， \(\epsilon\) は単位ベクトルである．ゲージ条件から， \(\mathbf{k}\cdot\epsilon=0\) でなければならない．したがって， \(\mathbf{k}\) を決めると，独立な状態として選べるのは，これに垂直な2方向の偏極 \(\epsilon_1(\mathbf{k}), \epsilon_2(\mathbf{k})\) を持つ2つの状態だけである．自由空間における一般解は，

\[\mathbf{A}(t,\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}}\sum_\mathbf{k}\sum_{\alpha=1,2} \frac{\epsilon_\alpha(\mathbf{k})}{\sqrt{2\omega_\mathbf{k}}} \left(a_{\mathbf{k}\alpha} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega_\mathbf{k}t)} + a_{\mathbf{k}\alpha}^* e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega_\mathbf{k}t)}\right)\]

と表される．複素数 \(a_{\mathbf{k}\alpha}\) は，振幅と位相である．平面波は，体積 \(V\) の空間内で規格化され，周期境界条件を課されている．

相対論的に不変なLorentzゲージ \(\partial_\mu A^\mu=0\) を選ぶと，方程式は，

\[\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\right) A^\mu = J^\mu\]

となる．

1.1.5. 空間反転

空間反転は，座標を \(\mathbf{r} \to -\mathbf{r}\) と変換する．このとき，電場はベクトルであるため， \(\mathbf{E} \to -\mathbf{E}\) と変換される．一方，磁場は擬ベクトルであるため， \(\mathbf{B} \to \mathbf{B}\) と変換される．したがって，Maxwell方程式は空間反転に対して不変である．

1.1.6. 荷電共役変換

物質と反物質を入れ替える変換の前後で，Maxwell方程式が同じ形で成立するかという問題は興味深い．この変換に伴い，電荷密度と電流密度はいずれも符号を変える．

\[ \begin{align}\begin{aligned}\rho(\mathbf{r}) \to \rho^C(\mathbf{r}) = -\rho(\mathbf{r})\\\mathbf{J}(\mathbf{r}) \to \mathbf{J}^C(\mathbf{r}) = -\mathbf{J}(\mathbf{r})\end{aligned}\end{align} \]

さらに，次のように場の変換を定義する：

\[\phi^C(\mathbf{r}) = -\phi(\mathbf{r}), \quad \mathbf{A}^C(\mathbf{r}) = -\mathbf{A}(\mathbf{r})\]

このとき，Maxwell方程式は同じ形を保つ．この操作は電荷共役変換と呼ばれる．Lorentz変換やParity変換と同様に，この電荷共役変換のもとでもLagrangian密度は不変である．