:math:`\pi` の計算
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円周率 :math:`\pi` は，

.. math::

    \pi = \frac{C}{d}

として定義される．ここで :math:`C` は円周の長さ，:math:`d` は円の直径である．その具体的な値は，

.. math::

    \pi = 3.1415926535\; 8979323846\; 2643383279\; 5028841971\; 6939937510\;\ldots

と無限に続く数であり，正確には超越数である．

Proof.

:math:`\pi` が代数的数であると仮定すると， :math:`i\pi` も代数的数である．すると，Eulerの公式より， :math:`e^{i\pi}=-1` も代数的数である．しかし，Lindemannの定理により，代数的数 :math:`\alpha \neq 0` に対して :math:`e^\alpha` は超越数である．これは矛盾であるため， :math:`\pi` は超越数である． :math:`\square`

多角形近似
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半径1の円に内接する正 :math:`n` 角形の周りの長さを :math:`2\pi_n` とすると，

.. math::

    \pi_n = n \sin\frac{\pi}{n}

となり，

.. math::

    \frac{\pi_n}{n} = \sin\frac{\pi}{n}
    = 2\sin\frac{\pi}{2n}\cos\frac{\pi}{2n}
    = 2\frac{\pi_{2n}}{2n}\cos\frac{\pi}{2n}.

これを再帰的に適用すると，

.. math::

    \pi_n = \lim_{k\rightarrow \infty} 2^kn\sin\frac{\pi}{2^kn}\prod_{j=1}^k\cos\frac{\pi}{2^jn}

    \frac{1}{\pi} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{\pi_n}\left(\frac{2^kn}{\pi}\sin\frac{\pi}{2^kn}\right)\prod_{j=1}^k\cos\frac{\pi}{2^jn}

となり，

.. math::

    \pi = \frac{n\sin\frac{\pi}{n}}{\prod_{j=1}^\infty\cos\frac{\pi}{2^jn}}

を得る．また，

.. math::

    \cos\frac{\pi}{2k} = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{k}}

を用いて，Vièteの公式

.. math::

    \frac{2}{\pi} = \prod_{j=0}^\infty\cos\frac{\pi}{4\cdot 2^j}
    = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots

を得る．なお， :math:`n=4` とした．

:math:`\arctan` 系
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:math:`\arctan x` の値はMaclaurin展開を利用して，

.. math::

    \arctan x = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots

となる． :math:`x=\frac{1}{n}` のように整数の逆数を代入すると，

.. math::

    \arctan\frac{1}{n} = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)n^{2k+1}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{3n^3} + \frac{1}{5n^5} - \cdots

になり， :math:`n` が大きいほど収束が速くなる．そのため，一般に :math:`\arctan` 系公式は，

.. math::

    \frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^\infty a_k\arctan\frac{1}{b_k}

の形をしている．ここで :math:`a_k` は整数，:math:`b_k` は正整数である．

有名なものとしてMachinの公式があり，次式を満たす．

.. math::

    \frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}.

Proof.

.. math::

    4\arctan\frac{1}{5} = 2\left(2\arctan\frac{1}{5}\right)
    = 2\left(\arctan\frac{5}{12}\right)
    = \arctan\frac{120}{119}

であるから，

.. math::

    4\arctan\frac{1}{5} - \frac{\pi}{4} = 4\arctan\frac{1}{5} - 4\arctan\frac{1}{1} =

    = \arctan\frac{120}{119} - \arctan\frac{1}{1}
    = \arctan\frac{1}{239}. \quad \square

特に，2項しかないもの，

.. math::

    \frac{\pi}{4} = k\arctan\frac{1}{n} - l\arctan\frac{1}{m}

は4種類しかない．ただし， :math:`k,l` は自然数， :math:`n,m` は :math:`0` でない整数である．具体的には，

.. math::

    \frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}

    = 2\arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}

    = 2\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}

    = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}.

BBP系
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BBPの公式は，

.. math::

    \pi = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right).

Proof.

.. math::

    S \equiv \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right) =

    = 4\sum_{k=0}^\infty\int_0^1\frac{x^{8k}}{16^k}\,dx - 2\sum_{k=0}^\infty\int_0^1\frac{x^{8k+3}}{16^k}\,dx
    
    - \sum_{k=0}^\infty\int_0^1\frac{x^{8k+4}}{16^k}\,dx - \sum_{k=0}^\infty\int_0^1\frac{x^{8k+5}}{16^k}\,dx.

:math:`0 \leq x \leq 1` では :math:`\left|x^8/16\right| \leq 1/16 < 1` であるから，幾何級数 :math:`\sum_{k=0}^\infty (x^8/16)^k` は一様収束する．したがって項別積分ができて，

.. math::

    S = \int_0^1\left(4 - 2x^3 - x^4 - x^5\right)\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{x^8}{16}\right)^k\,dx =

    = \int_0^1\frac{4 - 2x^3 - x^4 - x^5}{1 - x^8/16}\,dx =

    = \int_0^1\frac{64 - 32x^3 - 16x^4 - 16x^5}{16 - x^8}\,dx.

ここで，

.. math::

    64 - 32x^3 - 16x^4 - 16x^5 = 16(1-x)(x^2+2)(x^2+2x+2),

    16 - x^8 = (2-x^2)(x^2+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

であるから，

.. math::

    S = \int_0^1\frac{16(1-x)}{(2-x^2)(x^2-2x+2)}\,dx.

さらに部分分数分解すると，

.. math::

    \frac{16(1-x)}{(2-x^2)(x^2-2x+2)} = -\frac{4x}{2-x^2} + \frac{8-4x}{x^2-2x+2}

である．よって，

.. math::

    S = \int_0^1-\frac{4x}{2-x^2}\,dx + \int_0^1\frac{8-4x}{x^2-2x+2}\,dx =

    = \left[2\log(2-x^2)\right]_0^1 + \left[-2\log(x^2-2x+2) + 4\arctan(x-1)\right]_0^1 =

    = -2\log 2 + \left(0 - \left(-2\log 2 - \pi\right)\right) =

    = \pi. \quad \square