変圧器の原理#

磁性体に２つのコイルが巻かれた装置を考えよう．コイルの巻数は $n_1,n_2$ ，磁性体の透磁率は非常に大きく漏れ磁束はないとする．磁性体の磁気抵抗 $R_m$ とし，コイル１の電圧，電流 $v_1,i_1$ ，コイル２の電圧，電流 $v_2,i_2$ は，磁束 $\Phi$ を介して，

\Phi=\frac{n_1i_1+n_2i_2}{R_m},\quad v_k=n_k\frac{d\Phi}{dt},\quad k=1,2

となる．上式より，

v_1:v_2=n_1:n_2

の関係が導ける．また， $i_1=\sqrt{2}I_1\sin(\omega t-\theta),i_2=-\sqrt{2}I_2\sin\omega t$ とし，コイル２の端子に抵抗 $R$ を接続したとすると，

\begin{align*} i_1=\sqrt{2}\frac{n_2}{n_1}I_2\sin\omega t-\sqrt{2}\frac{n_2RR_m}{n_1^3\omega}I_2\cos\omega t=&\\ =\sqrt{2}\frac{n_2}{n_1}I_2\sin\omega t+\frac{R_m}{n_1^2}\int v_1dt \end{align*}

となる． $R_m/n_1^2$ はコイル１の自己インダクタンスの逆数

L=\frac{N\Phi}{i}=\frac{N^2}{R_m}\quad \because \Phi=\frac{Ni}{R_m}

であり，これが無視できるとすると，

n_1i_1+n_2i_2=0

が得られる．理想変圧器は，これら電圧，電流の関係

a\equiv \frac{n_1}{n_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{I_2}{I_1}

であるものをいい，漏れインピーダンスがなく，励磁インピーダンスが無限大の変圧器である．ただし， $a$ は巻数比である．

理想変圧器の２次側にインピーダンス $\dot{Z}$ の負荷を繋いだ場合，１次側から見たインピーダンスは，

\frac{\dot{V}_1}{\dot{I}_1}=\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\dot{Z}_2

であり，巻数比 $a$ を用いれば $a^2\dot{Z}_2$ となる．

損失を考慮した変圧器#

実際の変圧器には，２次側に電圧を誘起させるために必要な磁束を発生される励磁電流が必要であり，そこにはヒステリシス損失，渦連流損失が生じる．これらをまとめて鉄損と呼ばれ，磁束密度の２乗，すなわち電圧の２乗に比例するから，励磁を表現するインダクタに並列の抵抗で表現できる．その他にも，コイルの導線に流れる電流によりジュール熱が生じるため，これらも損失となり銅損と呼ばれる．

以上を考慮した変圧器は等価回路として扱い，次の２種類がある．

T型等価回路
L型等価回路 (簡易等価回路)

簡易等価回路は，計算するのに便利であるが，誤差を含む．ただ，この誤差が問題となる変圧器は励磁回路 $g_0+jb_0$ が大きく，そもそもよい変圧器でない．通常使用される変圧器は，励磁電流が非常に小さいため，簡易等価回路を用いて議論しも問題とならない．

特性#

電機機器には定格（容量，電圧，電流，力率，周波数）があり，その定格に応じて使用される．定格は，絶縁，使用温度から決定され，変圧器では，鉄損と絶縁から電圧，銅損から使用限度の電流が決められる．以上より，容量が定められう．

電圧変動率 $\epsilon$ は，

\begin{align*} \epsilon\equiv \frac{V_{20}-V_{2n}}{V_{2n}}\times 100[\%]=&\\ \approx \left( \frac{rI_{2n}\cos\varphi+xI_{2n}\sin\varphi}{V_{2n}} \right)\times 100[\%]=&\\ =\left( \frac{rI_{2n}}{V_{2n}}\cos\varphi+\frac{xI_{2n}}{V_{2n}}\sin\varphi \right)\times 100[\%]=&\\ \equiv q_r\cos\varphi+q_x\sin\varphi \end{align*}

ここで， $q_r$ は百分率抵抗降下， $q_x$ は百分率リアクタンス効率であり，

r\equiv \frac{r_1}{a^2}+r_2,\quad x\equiv j\left(\frac{x_1}{a^2}+x_2\right)

とした．なお，励磁電流は非常に小さいので励磁回路は考えていない．

効率#

変圧器は非常に効率のよい機器であるため，入力と出力の測定から効率を計算するには，誤差が大きい．そこで，損失を算出し求める規約効率

\eta\equiv \frac{P_\text{out}}{P_\text{out}+P_\text{loss}}\times 100[\%]=\frac{V_{2n}I_{2n}\cos\theta}{V_{2n}I_{2n}\cos\theta+P_i+RI_{2n}^2}\times 100[\%]

を用いる．損失は，無負荷損と負荷損があり，無負荷損には鉄損や銅損，誘電体損がある．鉄損 $P_i$ はヒステリシス損失 $W_h$ と渦電流損失 $W_e$ とがあり，

P_h=\sigma_h fB_m^2,\quad P_e=\sigma_e d^2f^2B_m,\quad P_i\equiv P_h+P_e

の関係にある．なお， $d$ は積層鉄板の厚さである．一方，銅損 $P_c$ は

P_c=k_rI_1^2(r_1+a^2r_2)

である．

ところで変圧器の最大効率となるときは，

\frac{d\eta}{dI_{2n}}=0 \to P_i=RI_{2n}^2

のときである．

全日効率は，

\eta_d=\frac{S_{2n}\int_0^{24}m\cos\theta dt}{S_{2n}\int_0^{24}m\cos\theta dt+24P_i+\int_0^{24}m^2P_c dt}\times 100[\%]

となる．なお， $m$ は負荷率である．

変圧器の試験#

変圧器の定数は，無負荷試験，短絡試験により求めることができる．

無負荷試験#

2次側を開放して，1次側に電圧計，電流計，電力計を接続する．このとき，変圧器の励磁電流は小さいものであるから，電源からみて，電流計を電圧計の後に接続する．電圧計は2次側にも接続する．

励磁回路の定数は，

g_0=\frac{P_0}{V_{01}^2},\quad \dot{Y}=\frac{I_0}{V_{01}},\quad b_0=\sqrt{\dot{Y}^2-b_0^2} =\sqrt{ \left(\frac{I_0}{V_{01}}\right)^2 -\left(\frac{P_0}{V_{01}^2}\right)^2 }

となる．

短絡試験#

2次側を短絡し，電圧，電流，電力を測定する．励磁インピーダンスは非常に大きいので，開放除去し，一般に電流が定格電流となるような電源電圧とする．

r=\frac{P_s}{I_s^2},\quad \dot{Z}=\frac{V_s}{I_s},\quad x=\sqrt{\dot{Z}^2-r^2} =\sqrt{ \left(\frac{V_s}{I_s}\right)^2 -\left(\frac{P_s}{I_s^2}\right)^2 }

ここで， $r\triangleq r_1+a^2r_2,x\triangleq x_1+a^2x_2$ とした．ただし，巻線抵抗は，温度により変化するため変圧器使用温度 $75^\degree C$ に関する必要がある．

その他の変圧器#

単巻変圧器#

巻線が1つの変圧器を単巻変圧器という．直列巻線の自己インダクタンスを $L_1\propto n_1^2$ ，分路巻線の自己インダクタンス $L_2\propto n_2^2$ ，相互インダクタンス $M\propto n_1n_2$ とすると，

\begin{align*} v_1=\frac{d}{dt} \Big[ L_1i_1+M(i_1+i_2)+L_2(i_1+i_2)+Mi_1 \Big]&\\ =\frac{d}{dt} \Big[ (L_1+2M+L_2)i_1+(L_2+M)i_2 \Big] \end{align*}

v_2=\frac{d}{dt} \Big[ L_2(i_1+i_2)+Mi_1 \Big] =\frac{d}{dt} \Big[ (L_2+M)i_1+L_2i_2 \Big]

の関係にあり， $V_1$ と $V_2$ の比は，2次側を無負荷 $(i_2=0)$ として

\frac{V_1}{V_2}=\frac{(n_1+n_2)^2}{n_2(n_1+n_2)}=\frac{n_1}{n_2}+1=a+1

を得る．