同期発電機#

同期発電機の回転数 $N$ ，周波数 $f$ の関係は，極数 $p$ を用いて

N=\frac{120f}{p}

の関係にある．集中巻の電機子巻線誘導起電力の実効値は，電機子巻線の巻数 $n$ ，有効長 $l_i$ ，磁束密度分布の基本波 $B=B_1\cos\theta$ （極の中心を $\theta=0$ ）とすると，

E_1 =\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(2nl_ivB)^2d\theta} =\sqrt{2}nl_ivB_1 =\sqrt{2}\pi nf\Phi_1

なお，速度 $v=2\tau f$ ，磁束

\Phi_1= l_i\int_{-\frac{\tau}{2}}^\frac{\tau}{2} B_1\cos\frac{\tau x}{\tau}dx =\frac{2}{\pi}l_i\tau B_1,\quad \because \theta=\frac{\pi x}{\tau}

の関係を用いた．なお， $x$ は極中心からの距離である．高調波成分の場合は，磁束密度分布を

B=\sum_{k=1}^\infty B_k\cos\theta

として，誘導機電力は

e=2nl_iv\sum_{k=1}^\infty B_k\cos\theta

となる．また，分布巻，短節巻をした場合は，分布係数 $k{dn}$ および短節係数 $k_{pn}$ を用いて，

E_n=\sqrt{2}\pi l_ivB_nk_{dn}k_{pn},\quad k_{dn}=\frac{\sin \frac{nq\alpha}{2}}{q\sin \frac{n\alpha}{2}},\quad k_{pn}=\sin \frac{n\beta \pi}{2}

である．なお， $n$ は $n$ 次調波を意味する．

電機子反作用#

電機子電流が無負荷誘導機電力と位相差 $\phi$ （進み）の場合を考えると，

\begin{align*} i=I\sin(\omega t+\phi)=&\\ =I\sin\omega t\cos\phi+I\cos\omega t\sin\phi=&\\ =I\cos\phi\sin\omega t+I\sin\phi\sin \left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right) \end{align*}

第１項は無負荷誘導機電力と同相であり交差磁化作用，第２項は位相が $\pi/2$ 進んでおり増磁作用となる．一方，位相差 $\phi$ （遅れ）の場合は，上式の $\phi$ を $-\phi$ とすることにより，位相が $\pi/2$ 遅れ，減磁作用となる．

端子電圧 $E_t$ は，無負荷誘導起電力 $\dot{E}_0$ ，電機子電流 $\dot{I}_a$ ，直軸電機子反作用リアクタンス $x_{ad}$ ，横軸電機子反作用リアクタンス $x_{aq}$ ，漏れリアクタンス $x_l$ として，

\begin{align*} \dot{E}_t=\dot{E}_0-(r_a+jx_{ad}+jx_l)\dot{I}_d-(r_a+jx_{aq}+jx_l)\dot{I}_q=&\\ =\dot{E}_0-(r_a+jx_d)\dot{I}_d-(r_a+jx_q)\dot{I}_q=&\\ =\dot{E}_0-\dot{Z}_d\dot{I}_d-\dot{Z}_q\dot{I}_q \end{align*}

ただし，直軸同期リアクタンス $x_d\equiv x_{ad}+x_l$ ，横軸同期リアクタンス $x_q\equiv x_{aq}+x_l$ ，直軸同期インピーダンス $\dot{Z}_d\equiv r_a+jx_d$ ，横軸同期インピーダンス $\dot{Z}_q\equiv r_a+jx_q$ である．上式は突起機の場合を考慮しており，一般に界磁が電磁石であれば， $x_d>x_q$ ，永久磁石であれば $x_d<x_q$ （永久磁石機の凹極性）となる．円筒機の場合は， $x_d\approx x_q$ のため，

\dot{E}_t=\dot{E}_0-(jx_q+jx_l+r_a)\dot{I}_a =\dot{E}_0-(r_a+jx_s)\dot{I}_a =\dot{E}_0-\dot{Z}_s\dot{I}_a

となる．ただし，同期リアクタンス $x_s\equiv x_l+x_q$ ，同期インピーダンス $\dot{Z}_s\equiv r_a+jx_s$ である．

出力特性#

発電機の端子電圧が一定の場合の出力特性を考える．無負荷誘導機電力を $\dot{E}_0=E_0e^{j\delta}$ とすると，電力は

\begin{align*} P=3\Re[\dot{E}_t\dot{I}_a^*] =3\Re[\dot{E}_t(I_q-jI_d)^*]=&\\ =3(E_tI_q\cos\delta+E_tI_d\sin\delta)=&\\ =3\left\{ \frac{E_tE_0}{x_d}\sin\delta+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_q}-\frac{1}{x_d}\right)E_t^2\sin 2\delta \right\} \end{align*}

なお， $\delta$ は端子電圧 $\dot{E}_t$ を基準とする位相角である．特に，円筒機の場合は，

P=\frac{3E_tE_0}{x_s}\sin\delta

となる．